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歷年數(shù)學(xué)中考三角形試題及答案精選
1. (天津3分)sin45的值等于
(A) (B) (C) (D) 1
【答案】B。
【考點(diǎn)】特殊角三角函數(shù)。
【分析】利用特殊角三角函數(shù)的定義，直接得出結(jié)果。
2.(河北省3分)如圖，在△ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分別在 AB、AC上，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，若A為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為
A、 B、2 C、3 D、4
【答案】B。
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)，相似三角形的判定和性質(zhì)。
【分析】∵△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，EDA=EDA=90，AE=AE，
△ACB∽△AED。 。
又∵A為CE的中點(diǎn)，AE=AE=AC。 。ED=2。
故選B。
3.(山西省2分)如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上，四邊形DEFG是正方形.若DE=2cm，則AC的長為
A. cm B.4cm C. cm D. cm
【答案】D。
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理。
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理可得出BC=4，由AB=AC，可證明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE= ，即可得出AC=2 。故選D。
4.(內(nèi)蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是
A、9cm B、12cm C、15cm或12cm D、15cm
【答案】D。
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系。
【分析】求等腰三角形的周長，即要確定等腰三角形的腰與底的長，根據(jù)三角形三邊關(guān)系知
當(dāng)6為腰，3為底時(shí)，6﹣36+3，能構(gòu)成等腰三角形，周長為6+6+3=15;
當(dāng)3為腰，6為底時(shí)，3+3=6，不能構(gòu)成三角形。故選D。
5.(內(nèi)蒙古呼倫貝爾3分)如圖，△ACB≌△A1CB1, BCB1=30，則ACA1的度數(shù)為
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
【答案】B。
【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)。
【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，得ACB=A1CB1，所以ACB-BCA1=A1CB1-BCA1，即 ACA1=BCB1=35。故選B。
3.填空題
1. (山西省3分)如圖，已知AB=12;ABBC于B，ABAD于A，AD=5，BC=10.點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長是 ▲ 。
【答案】 。
【考點(diǎn)】平行的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。
【分析】過點(diǎn)E作EGAB，垂足為點(diǎn)G，AB與DC交于點(diǎn)F，則DA∥GE∥BC。
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AB=12，根據(jù)平行的性質(zhì)，得AG=6。
∵DA∥BC，△ADF∽△BCF。 。
∵AB=12，即BF=12-AF。 。
又∵AD=5，BC=10， ，解得，AF=4，F(xiàn)B=8。
FG=6-4=2。
∵GE∥BC，△FGE∽△FBC。 ，即 ，解得，GE= 。
在Rt△AGE中，由勾股定理，得AE= 。
2.(內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰3分)如圖，AD是△ABC的中線，ADC=60，BC=6，把△ABC沿直線AD折疊，點(diǎn)C落在C處，連接BC，那么BC的長為 ▲ .
【答案】3。
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平角定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)。
【分析】根據(jù)題意：BC=6，D為BC的中點(diǎn);故BD=DC=3。
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：ADC=ADC=60，
DC=DC=2，BDC=60。
故△BDC為等邊三角形，故BC=3。
3.(內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰3分)如圖，EF是△ABC的中位線，將△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，點(diǎn)D在BC上，已知△AEF的面積為5，則圖中陰影部分的面積為 ▲ .
【答案】10。
【考點(diǎn)】三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)。
【分析】∵EF是△ABC的中位線，EF∥BC，△AEF∽△ABC。
EF：BC=1：2，S△AEF：S△ABC=1：4。
∵△AEF的面積為5，S△ABC=20。
∵將△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，S△EBD=5。
圖中陰影部分的面積為：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10。
4.(內(nèi)蒙古包頭3分)如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，ABAC，下列結(jié)論中：①BE=DC;②BOD=60③△BOD∽△COE.正確的序號(hào)是 ▲ .
【答案】①②。
【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定。
【分析】∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，
AD=AB，AE=AC，DAB=CAE=60。
DAC=BAC+60，BAE=BAC+60。DAC=BAE。△DAC≌△BAE(SAS)。
BE=DC�！劲僬_】
ADC=ABE。
∵BOD+BDO+DBO=180，BOD=180﹣BDO﹣DBO=60�！劲谡_】
∵由△DAC≌△BAE和ABAC，得AEB，OEC。
又∵60，60，OCE。
而DOB=EOC，△BOD和△COE不相似�！劲坼e(cuò)誤】
5.(內(nèi)蒙古呼和浩特3分)如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是BCD的平分線，且CEAB，E為垂足，BE=2AE，若四邊形AECD的面積為1，則梯形ABCD的面積為 ▲ . 【答案】 。
【考點(diǎn)】角平分線和垂直的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，梯形的面積，一元一次方程的應(yīng)用。
【分析】延長BA與CD，交于F，
∵CE是BCD的平分線，BCE=FCE。
∵CEAB，BEC=FEC=90。
∵EC=EC，△BCE≌△FCE(ASA)。BE=EF。
∵BE=2AE，BF=4AF。
又∵AD∥BC，△FAD∽△FBC。 。
設(shè)S△FAD=x，S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，S四邊形AECD=7x。
∵四邊形AECD的面積為1，7x=1，x= 。
梯形ABCD的面積為：S△BCE+S四邊形AECD=15x= 。
6.(內(nèi)蒙古烏蘭察布4分)如圖，在Rt△ABC中，ABC = 90 , AB = 8cm , BC = 6cm , 分別以A,C為圓心，以 的長為半徑作圓, 將 Rt△ABC截 去兩個(gè)扇形，則剩余(陰影)部分的面積為 ▲ cm (結(jié)果保留)
【答案】 。
【考點(diǎn)】直角三角形兩銳角的關(guān)系，勾股定理，扇形的面積。
【分析】由題意可知，陰影部分的面積為三角形面積減去兩個(gè)扇形面積。
三角形面積為 。
由勾股定理，得AC=10，圓半徑為5。
∵在Rt△ABC中，ABC = 90 ,C =90 。
兩個(gè)扇形的面積的和為半徑5，圓心角90 的扇形的面積，即四分之一圓的面積 。
陰影部分的面積為 cm 。
7.(內(nèi)蒙古烏蘭察布4分)某廠家新開發(fā)的一種電動(dòng)車 如圖，它的大燈A射出的光線AB,AC 與地面MN 所夾的銳角分別為 8 和 10 ，大燈A與地面離地面的距離為lm則該車大燈照亮地面的寬度BC是 ▲ m .(不考慮其它因素)
【答案】 。
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義。
【分析】過點(diǎn)A作ADBC，垂足為點(diǎn)D。由銳角三角函數(shù)定義，得
BC=BD-CD= 。
4.解答題
1.(北京5分)如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，BE∥DF，F(xiàn)，AB=FD.求證：AE=FC.
【答案】證明：∵BE∥DF，ABE=D。
在△ABC和△FDC中 ，
△ABC≌△FDC(ASA)。
AE=FC.
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。
【分析】利用平行線同位角相等的性質(zhì)可得ABE=D，由已知用ASA判定△ABC≌△FDC，再由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)證得AE=FC。
2.(北京5分)如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長線上，且CBF= CAB.
(1)求證：直線BF是⊙O的切線;
(2)若AB=5，sinCBF= ，求BC和BF的長.
【答案】解：(1)證明：連接AE。∵AB是⊙O的直徑，AEB=90。
2=90。
∵AB=AC，1= CAB。
∵CBF= CAB，CBF。CBF+2=90。即ABF=90。
∵AB是⊙O的直徑，直線BF是⊙O的切線。
(2)過點(diǎn)C作CGAB于點(diǎn)G。
∵sinCBF= ，CBF，sin1= 。
∵AEB=90，AB=5，BE=ABsin1= 。
∵AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2 。
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2 ，sin2= ，cos2= 。
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，AG=3。
∵GC∥BF，△AGC∽△BFA。 。 。
【考點(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形。
【分析】(1)連接AE，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明ABE=90。
(2)利用已知條件證得△AGC∽△BFA，利用對(duì)應(yīng)邊的比求得線段的長即可。
3.(北京5分)閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問題，如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若梯形ABCD的面積為1，試求以AC，BD，AD+BC的長度為三邊長的三角形的面積.
小偉是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法移動(dòng)這些分散的線段，構(gòu)造一個(gè)三角形，再計(jì)算其面積即可.他先后嘗試了翻折，旋轉(zhuǎn)，平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個(gè)問題.他的方法是過點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長線于點(diǎn)E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的長度為三邊長的三角形(如圖2).
參考小偉同學(xué)的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，△ABC的三條中線分別為AD，BE，CF.
(1)在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個(gè)三角形(保留畫圖痕跡);
(2)若△ABC的面積為1，則以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于 .
【答案】解：△BDE的面積等于1。
(1)如圖.以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個(gè)三角形是△CFP。
(2)連接EF，PE，則△CFP可公割成△PEF，△PCE和△EFC。
∵四邊形BEPF是平行四邊形，△PEF≌△BFE。
又∵E，F(xiàn)是AC，AB的中點(diǎn)，△BFE的底和高都是△ABC的一半。
△BFE的面積是△ABC的 ，即△PEF的面積是△ABC的 。
同理，△PCE和△EFC的面積都是△ABC的 。
以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面積等于 。
【考點(diǎn)】平移的性質(zhì)，三角形的面積，尺規(guī)作圖。
【分析】根據(jù)平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性質(zhì)知△ADB與△ADC的面積相等，即△BDE的面積等于梯形ABCD的面積。
(1)分別過點(diǎn)F、C作BE、AD的平行線交于點(diǎn)P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個(gè)三角形。
(2)由平移的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。結(jié)合圖形知以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于△ABC的面積的 。
4.(天津8分)某校興趣小組坐游輪拍攝海河兩岸美景.如圖，游輪出發(fā)點(diǎn)A與望海樓B的距離為300 m.在一處測(cè)得望海校B位于A的北偏東30方向.游輪沿正北方向行駛一段時(shí)間后到達(dá)C.在C處測(cè)得望海樓B位于C的北偏東60方向.求此時(shí)游輪與望梅樓之間的距離BC ( 取l.73.結(jié)果保留整數(shù)).
【答案】解：根據(jù)題意，AB=10，如圖，過點(diǎn)B作BDAC交AC的延長線于點(diǎn)D。
在Rt△ADB中，∵ BAD=300， 。
在Rt△CDB中， 。
答：此時(shí)游輪與望梅樓之間的距離約為173 m。
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用。
【分析】要求BC的長，就要把它作為直角三角形的邊，故輔助線過點(diǎn)B作BDAC交AC的延長線于點(diǎn)D，形成兩個(gè)直角三角形，利用三角函數(shù)解直角三角形先求BD再求出BC。
5.(山西省7分)如圖，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹DE的高度.他們?cè)谶@棵樹正 前方一座樓亭前的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹頂端D的仰角為30，朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹頂端D的仰角為60.已知A點(diǎn)的高度AB為2米，臺(tái)階AC的坡度為 (即AB：BC= )，且B、C、E三點(diǎn)在同一條盲線上。請(qǐng)根據(jù)以上殺件求出樹DE的高度(測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)).
【答案】解：如圖，過點(diǎn)A作AFDE于F，則四邊形ABEF為矩形。AF=BE，EF=AB=2。
設(shè)DE=x，
在Rt△CDE中，CE= ，
在Rt△ABC中，∵ AB：BC= ，AB=2，BC= 。
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-2，AF= 。
∵AF=BE=BC+CE， ，解得x=6。
答：樹DE的高度為6米。
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用(仰角俯角、坡度坡角問題)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值。。
【分析】通過構(gòu)造直角三角形分別表示出BC和AF，得到有關(guān)的方程求解即可。
6.(山西省9分)如圖(1)，Rt△ABC中，ACB=90，CDAB，垂足為D.AF平分CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F
(1)求證：CE=CF.
(2)將圖(1)中的△ADE沿AB向右平移到△ADE的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其它條件不變，如圖(2)所示.試猜想：BE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
【答案】解：(1)∵ACB=90，CFA=90CAF。
∵CDAB，CEF=AED=90EAD。
又∵AF平分CAB，CAF=EAD。CFA=CEF。CE=CF。
(2)BE與CF相等。證明如下：
如圖，過點(diǎn)E作EGAC于G。
又∵AF平分CAB，EDAB，ED=EG。
由平移的性質(zhì)可知：DE=DE，DE =GE。
∵ACB=90，ACD+DCB=90。
∵CDAB于D，DCB=90。ACD=B。
在Rt△CEG與Rt△BED中，
∵GCE=B，CGE=BDE，CE=DE，△CEG≌△BED(AAS)。CE=BE。
由(1)CE=CF，得CF=BE。
【考點(diǎn)】三角形兩銳角的關(guān)系，對(duì)頂角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線定義，平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。
【分析】(1)要證CE=CF，根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的判定，只要CFA=CEF即可。由已知，知CFA與CAF互余，CEF=AED與EAD互余，而AF平分CAB。從而CAF=EAD。得證。
(2)由角的等量關(guān)系轉(zhuǎn)換和平移的性質(zhì)，根據(jù)AAS證得△CEG≌△BED，即可根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)得到CE=BE。由(1)的結(jié)論即可得到CF=BE。
7.(內(nèi)蒙古呼和浩特6分)在一次課外實(shí)踐活動(dòng)中，同學(xué)們要測(cè)量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個(gè)涼亭之間的距離.現(xiàn)測(cè)得AC=30m，BC=70m，CAB=120，請(qǐng)計(jì)算A，B兩個(gè)涼亭之間的距離.
【答案】解：如圖，作CDAB于點(diǎn)D.
在Rt△CDA中，∵AC=30，
CAD=180CAB=180-120=60，
CD=ACsinCAD=30sin60=15 ，
AD=ACcosCAD=30cos60=15。
在Rt△CDB中，∵BC=70，BD2=BC2﹣CD2，
BD= 。
AB=BD﹣AD=65﹣15=50。
答：A，B兩個(gè)涼亭之間的距離為50m。
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用(方向角問題)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理。
【分析】構(gòu)造直角三角形，過C點(diǎn)作CDAB于點(diǎn)D，先在Rt△CDA中應(yīng)用銳角三角函數(shù)求得AD、CD的長，再利用勾股定理求得BD的長，從而由AB=BD﹣AD即得A，B兩個(gè)涼亭之間的距離。
8.(內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰10分)如圖，一架滿載救援物資的飛機(jī)到達(dá)災(zāi)區(qū)的上空，在A處測(cè)到空投地點(diǎn)C的俯角=60，測(cè)到地面指揮臺(tái)的俯角=30，已知BC的距離是2000米，求此時(shí)飛機(jī)的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
【答案】解：作ADBC，交BC的延長線于點(diǎn)D，
∵EA∥BC，ABC==30。
又∵BAC=-=30，ABC=BAC。
AC=BC=2000。
在Rt△ACD中，
AD= ACcosCAD=ACcos300=1000 。
答：此時(shí)飛機(jī)的高度為1000 米。
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用(仰角俯角問題)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的判定，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值。
【分析】作ADBC，交BC的延長線于點(diǎn)D， 由平行線內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)和等腰三角形的判定，易得AC=BC=2000，從而在Rt△ACD中應(yīng)用銳角三角函數(shù)即可求得此時(shí)飛機(jī)的高度。
9.(內(nèi)蒙古包頭8分)一條船上午8點(diǎn)在A處望見西南方向有一座燈塔B，此時(shí)測(cè)得船和燈塔相距36海里，船以每小時(shí)20海里的速度向南偏西24的方向航行到C處，此時(shí)望見燈塔在船的正北方向.(參考數(shù)據(jù)sin240.4，cos240.9)
(1)求幾點(diǎn)鐘船到達(dá)C處;
(2)當(dāng)船到達(dá)C處時(shí)，求船和燈塔的距離.
【答案】解：(1)延長CB與AD交于點(diǎn)E.AEB=90，
∵BAE=45，AB=36，BE=AE=36。
根據(jù)題意得：C=24，sin24= ，
AC= 。
9020=4.5。
8+4.5=12.5。
12點(diǎn)30分船到達(dá)C處。
(2)在直角三角形ACE中，cos24= ，即cos24= ，
BC=45。
船到C處時(shí)，船和燈塔的距離是45海里。
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用(方向角問題)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)。
【分析】(1)要求幾點(diǎn)到達(dá)C處，需要先求出AC的距離，根據(jù)時(shí)間=距離除以速度，從而求出解.
(2)船和燈塔的距離就是BC的長，作出CB的延長線交AD于E，根據(jù)直角三角形的角，用三角函數(shù)可求出CE的長，減去BE就是BC的長.
10.(內(nèi)蒙古呼倫貝爾6分)如圖，從熱氣球C上測(cè)得兩建筑物A、B底部的俯角分別為30和60，如果這時(shí)氣球的高度CD為90米，且點(diǎn)A、D、B在同一直線上，求建筑物A、B間的距離(結(jié)果保留根號(hào))。
【答案】解：∵ ，
筑物A、B間距離為 米。
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。
【分析】分別在 和 中應(yīng)用銳角三角函數(shù)求出AD，BD即可。
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