淺析限制排中律適用范圍的命題演算論文

　　在經典命題演算中，不矛盾律和排中律都普遍有效。直覺主義斷然否定排中律的普遍有效性，在直覺主義命題演算中，不矛盾律普遍有效，排中律無效。

　　直覺主義的創(chuàng)始人布勞維(L.E.J.Brouwer)認為：“排中律是從有限事物中概括出來的，任何一個涉及有限事物全體的命題，總是可以通過對這些事物逐一地加以驗證，來判明該命題的真?zhèn)�，這時排中律是有效的。

　　但是如果忘記了排中律的有限來源，把排中律視為先于和高于數學的某種普遍適用的法則，并將它運用于無限的場合，就會犯錯誤。這是因為對于無限的事物，往往不可能(哪怕是原則上)對它們一一加以鑒別�！盵1]

　　然而，經典命題演算認排中律為普遍有效式，這固然與直觀相違;直覺主義命題演算認排中律為無效式，亦與直觀不盡相符。從直觀上看，正如布勞維所認為的那樣，排中律對且只對有限事物有效;但無論是經典命題演算，還是直覺主義命題演算，都沒有框定排中律的適用范圍。鑒于此，本文擬對經典命題演算做適當改動，構造一個限制排中律適用范圍的命題演算系統PC5。

　　命題演算系統PC5 及其可靠性、完全性。

　　(一)PC5的語法和語義

　　初始符號：

　　甲、p1，p2，p3，…，pm，…，m 為自然數;乙、┌ ，┐，∨;丙、(，)。

　　在陳述形成規(guī)則以前，我們先引進一些語法語言的符號并作如下說明：

　　(1)Q、R、S 代表任一甲類符號。

　　(2)X、Y、Z 代表任一符號序列。

　　(3)A、B、C、D、E 代表任一合式公式。

　　(4)語法符號“┠”寫在任一公式之前，它表示緊接在后面的公式是本系統所要肯定的。

　　形成規(guī)則：

　　(1)若X 是甲類符號，則┌X、┐X 是合式公式。

　　(2)若X 是合式公式，則┌X、┐X 是合式公式。

　　(3)若X 和Y 都是合式公式，則(X∨Y)是合式公式。

　　(4)只有適合以上三條的符號序列是合式公式。

　　定義：

　　(甲)(A→B)定義為(┐A∨B)。

　　(乙)(A∧B)定義為┐(┐A∨┐B)。

　　(丙)(A≡B)定義為((A→B)∧(B→A))。

　　括號省略規(guī)則：

　　(甲)最外面的一對括號可以省略。

　　(乙)真值聯結詞的結合力依下列次序而遞增：≡，→，∧，∨，┌，┐。

　　公理：

　　公理1：┠A∨A→A;

　　公理2：┠A→A∨B;

　　公理3：┠A∨B→B∨A;

　　公理4：┠(B→C)→(A∨B→A∨C);

　　公理5：┠┌A≡A;

　　公理6：┠ ┐(┌Q∧┐Q)。

　　變形規(guī)則：

　　(1)分離規(guī)則，從┠A 和┠ ┐A∨B 可得┠B。

　　(2)定義置換規(guī)則，定義的左右兩方可相互替換。設原公式為A，替換后所得公式為B，則從┠A 可

　　得┠B。

　　公式的級的`遞歸定義：

　　(1)若X 是甲類符號，則┌ X 和┐X 均為原子公式，原子公式是1 級公式。

　　(2)若X 是m 級公式，則┌ X 和┐X 均為m+1 級公式。

　　(3)若X 是m 級公式，Y 是n 級公式，且m≥n，則X∨Y、Y∨X、X∧Y、Y∧X、X→Y、Y→X、X≡Y、

　　Y≡X 均為m 級公式。

　　對引入0 級命題變項和肯定詞符號的一點說明。

　　如前文所述，0 級命題變項代表任意的0 級命題。0 級命題就是不包含肯定詞或否定詞的命題。

　　這里有一點需要說明，邏輯學界有一種普遍流行的觀點，這種觀點認為任何命題都肯定了自身。按照這種觀點，人們必須承認：

　　第一，任何命題都隱含著肯定詞;

　　第二，一個命題與肯定該命題而形成的命題是等值的。這樣一來，也就不存在0 級命題了。

　　筆者認為，上述普遍流行的觀點頗值得商榷。首先，沒有任何理由可以證明任何命題都肯定了自身。

　　其次，有些命題很難說肯定了自身。例如，命題甲“圓周率π 的小數表達式3.1415926…中有七個連續(xù)出現的5”就很難說肯定了自身。π 是一個無理數，即無限的不循環(huán)的小數。

　　到目前為止，我們還沒有發(fā)現(或證明)π 的小數展開式中有七個連續(xù)出現的5，因而不能肯定命題甲;我們也無法論證π 一定沒有這樣一個特性，因而也不能否定命題甲[1] 49~50。如果命題甲肯定了自身，那么只要提出命題甲，就提出了對命題甲的肯定。這與命題甲雖已提出來但到目前為止還未被肯定這一事實顯然不符。

　　再次，“一個命題與肯定該命題而形成的命題是等值的”只是邏輯學的一個公設，基于這一公設，肯定詞在任何情況下都可以隨意消除，人們在構造命題演算系統時根本無需引入肯定詞，這就造成了在現代邏輯中對肯定詞和否定詞的研究極為不平衡的奇特現象：人們建立了多種多樣的命題演算系統來刻畫否定詞的邏輯意義，區(qū)分了不同種類的否定(如經典否定、直覺主義否定、弗協調否定等)[3] 476~477;但人們對肯定詞的邏輯意義卻極少關注。

　　然而，值得提出的是，上述公設從未得到過系統外的預先證明。鑒于此，本文所建構的形式系統在限制上述公設適用范圍的基礎上引入了0 級命題變項和肯定詞符號。

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