數(shù)學歸納法的教學設(shè)計三篇
篇一：數(shù)學歸納法教學設(shè)計
一、教材內(nèi)容解析
由于正整數(shù)無法窮盡的特點，有些關(guān)于正整數(shù)n的命題,難以對n進行一一的驗證，從而需要尋求一種新的推理方法，以便能通過有限的推理來證明無限的結(jié)論.這是數(shù)學歸納法產(chǎn)生的根源.
數(shù)學歸納法是一種證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的重要方法。它的獨到之處便是運用有限個步驟就能證明無限多個對象，而實現(xiàn)這一目的的工具就是遞推思想。
設(shè)p(n)表示與正整數(shù)n有關(guān)的命題，證明主要有兩個步驟：（1）證明p(1)為真；（2）證明若p(k)為真，則p(k+1)為真；有了這兩步的保證,就可實現(xiàn)以下的無窮動態(tài)的遞推過程：
P(1)真?? P(2)真?? P(3)真??… ?? P(k)真?? P(k+1)真?? …
因此得到對于任何正整數(shù)n，命題p(n)都為真.
數(shù)學歸納法的兩個步驟中，第一步是證明的奠基，第二步是遞推的依據(jù)，即驗證由任意一個整數(shù)n過渡到下一個整數(shù)n+1時命題是否成立.這兩個步驟都非常重要，缺一不可.第一步確定了n=1時命題成立，n=1成為后面遞推的出發(fā)點，沒有它遞推成了無源之水；第二步確認了一種遞推關(guān)系，借助它，命題成立的范圍就能從1開始，向后面一個數(shù)一個數(shù)的無限傳遞到1以后的每一個正整數(shù)，從而完成證明.因些遞推是實現(xiàn)從有限到無限飛躍的關(guān)鍵，沒有它我們就只能停留在對有限情況的把握上.
在應(yīng)用數(shù)學歸納法時，第一步中的起點1可以恰當偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可證明命題對n=n0以后的每個正整數(shù)都成立;而第二步的遞推方式也可作靈活的變動，如跳躍式前進等，但必須保證第一步中必須含有實現(xiàn)第二步遞推時的基礎(chǔ).
數(shù)學歸納法名為歸納法，實質(zhì)上與歸納法毫無邏輯聯(lián)系.按波利亞的說法“這個名字是隨便起的”.[1]歸納法是一種以特殊化和類比為工具的推理方法，是重要的探索發(fā)現(xiàn)的手段，是一種似真結(jié)構(gòu)；而數(shù)學歸納法是一種嚴格的證明方法，一種演繹法，它的實質(zhì)是“把無窮的三段論納入唯一的公式中”(龐加萊)，它得到的結(jié)論是真實可靠的.在皮亞諾提出“自然數(shù)公理”后，數(shù)學歸納法以歸納公理為理論基礎(chǔ)，得到了廣泛的確認和應(yīng)用.而自然數(shù)中的“最小數(shù)原理”，則從反面進一步說明了數(shù)學歸納法證題的可靠性.
數(shù)學歸納法雖不是歸納法，但它與歸納法有著一定程度的關(guān)聯(lián).在數(shù)學結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程中，往往先通過對大量個別事實的觀察，通過歸納形成一般性的結(jié)論，最終利用數(shù)學歸納法的證明解決問題.因此可以說論斷是以試驗性的方式發(fā)現(xiàn)的，而論證就像是對歸納的一個數(shù)學補充[1]，即“觀察”+“歸納”+“證明”=“發(fā)現(xiàn)”.
二、教學目標
1. 通過對具體問題的解決思路探尋，了解數(shù)學歸納法產(chǎn)生的根源及其無窮遞推的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上歸納概括出數(shù)學歸納法證題的兩個步驟.
2. 體會數(shù)學歸納法的思想，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的恒等式.
3. 了解通過“觀察”“歸納”“證明”來發(fā)現(xiàn)定理的基本思路.
三、教學問題診斷
認知基礎(chǔ)：
�。�1） 對正整數(shù)的特點的感性認識；
�。�2） 對“無窮”的概念有一定的認識和興趣；
�。�3） 在數(shù)列的學習中對遞推思想有一定的體會；
（4） 在生活經(jīng)驗中接觸到一些具有遞推性質(zhì)的事實；
（5） 在“算法”循環(huán)結(jié)構(gòu)的學習中有反復試用“循環(huán)體”的體會,雖然算法實現(xiàn)的
只能是有限步的循環(huán);(如下圖)
�。�6） 了解歸納法、演繹法等推理方法以及分析法、綜合法等證明方法，具有了一定的邏輯知識的基礎(chǔ).
難點或疑點：
但數(shù)學歸納法作為一種證明的方法，且不論其方法的結(jié)構(gòu)形式，運用技巧，就是對其自身的可靠性，學生都有一定的疑慮，具體可能會體現(xiàn)在以下一些方面：
1.數(shù)學歸納法所要解決的是無窮多個命題P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒為真的問題，由此造學生在理解上的兩點困難：（1）對“無窮”的模糊認知和神秘感；（2）對于一個關(guān)于正整數(shù)n的命題P(n)，會難以將其看作是一個隨自變量n變化的“命題值函數(shù)”.
2.為什么要引進數(shù)學歸納法？驗證為何不可行？
3.數(shù)學歸納法的兩步驟中，對第二步的認識往往難以到位.將解決由P(k)到P(k+1)的傳遞性問題，誤解為證明P(k+1)的真實性.由此造成對證明中何以用“假設(shè)”的不理解.
4.數(shù)學歸納法的第二步中由k到k+1的遞推性應(yīng)保證k從第一個值時的任意一個整數(shù)都能成立,由此只要第一個值成立，就能確�？梢砸恢边f推下去.
5.數(shù)學歸納法中的遞推是一種無窮盡的動態(tài)過程，學生對于不斷反復地運用步驟二來進行推理的模式缺乏清晰的認知.
數(shù)學歸納法運用時對起點可作適當?shù)钠疲瑢Φ诙降淖C明有一定的技巧，這些都可以留置下一課進行深入分析，本課側(cè)重解決對數(shù)學歸納法基本原理和兩步驟的初步理解.
突破的關(guān)鍵：
由于中學階段對數(shù)學歸納法的教學缺乏理論基礎(chǔ)，因此學習的關(guān)鍵是通過對具體問題的解決，提煉出方法的一般模式。在經(jīng)歷問題的提出、思考的過程，通過具體的事例、直觀的模型中加以抽象概括，從而逐步加深對數(shù)學歸納法原理的理解。
(1) 借助遞推數(shù)列
遞推數(shù)列通過相鄰兩項的關(guān)系以及首項來確定數(shù)列，與數(shù)學歸納法的思想有著天然的聯(lián)系.
(2) 構(gòu)建直觀模型
上圖既有多米諾骨牌的形象又有數(shù)學的形式，加上命題式的推出符號更易理解若k則k+1的遞推語句，整體上又具有流程圖的程序結(jié)構(gòu)，能較好地反映出數(shù)學歸納法的本質(zhì)，可以使學生的思考有較形象直觀的載體.
�。�2）重視歸納概括
根據(jù)遞推思想，數(shù)學歸納法的證題過程可分解為以下無窮多個步驟：
第一步，P(1)真；
第二步，P(1)真??P(2)真；
第三步，P(2)真??P(3)真；
第四步，P(3)真??P(4)真；
…
用最少的步驟可概括為
第一步，P（1）真；
第二步以后各步都可歸納為一個命題的證明：P(k)真?P(k+1)真；即若P（k）真，則P（k+1）真.
同以上兩步，就可證得對任意的正整數(shù)n,都有P(n)為真.
對于這種抽象概括，學生在數(shù)列的學習以及算法的學習中是有經(jīng)驗的和能力的.
四、教學支持條件
對于“無窮”與“遞推”的描述，僅靠語言及符號是蒼白的，借助于一些直觀形象的符號可以更有助于學生的想象與理解.
五、教學過程設(shè)計
�。ㄒ唬┱n前準備
課前播放多米諾骨牌游戲的錄像，并將其類比遷移到對提問規(guī)則的制定:某個同學回答后，將話話筒傳遞給下一位同學回答問題.
設(shè)計意圖：一方面營造輕松的氛圍，另一方面滲透遞推思想，讓學生有感悟思想的機會
�。ǘ� 方法的形成
問題：已知數(shù)列｛an｝：師生活動：
學生進行計算推理后，展示思考結(jié)果. ，求,.
教師追問：
（1）根據(jù)遞推公式出,說說你又是如何求得呢？
可以由出發(fā)，推出，再由推出,由推 預設(shè)：由前四項歸納猜想.
�。�2）歸納猜想的結(jié)果并不可靠，你能否對
設(shè)計意圖：學生通過對給以嚴格的證明嗎？ 的求解，體會到只需知道某一項，就可求出其下一項的值.通過直觀的框圖式結(jié)構(gòu)，可以使學生的思考有較形象直觀的載體.針對學生的回答情況，教師可進行追問：
問1 : 利用遞推公式，命題中的n由1可以推出2，由2可以推出3，由3可以推出4，。。。，由99可以推出100. 這樣要嚴格證明n=100結(jié)論成立，需要進行多少個步驟的論證呢？ 第一步，； 第二步：； （由推） 第三步，； （由推） 第四步，
…… ； （由推）
第99步，；（由推）
第100步，
問2： 你能否只用最少的步驟就能證明這個結(jié)論呢？ . （由推）
預設(shè)：除了第一步論證之外，其余99個步驟的證明都可以概括成一個命題的'證明，即
轉(zhuǎn)化為對以下命題的證明：
若n取某一個值時結(jié)論成立，則n取其下一個值時結(jié)論也成立，即 若（），則. （*） （.）
問3： 你能進一步說明命題（*）的證明對原命題的證明起到什么作用嗎？
問4： 有了命題（*）的證明，你能肯定嗎？你能肯定嗎？你能肯定 嗎？甚至你能肯定嗎？…
問5：給定及命題（*），你能推出什么結(jié)論呢？
預設(shè)：通過步步遞推，可以證明對任意的正整數(shù)n，結(jié)論都成立
問6：試寫出此命題的證明:
已知數(shù)列｛an｝：預設(shè)：證明: ，求證：.
(1) 當n=1時，,所以結(jié)論成立.
(2) 假設(shè)當n=k(k?N*)時，結(jié)論成立，即
則當n=k+1時 ，
篇二：2.3數(shù)學歸納法 教學設(shè)計 教案
教學準備
1.教學目標
�。�1）知識與技能：理解“歸納法”和“數(shù)學歸納法”的含意和本質(zhì)；掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟一個結(jié)論；會用“數(shù)學歸納法”證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題。
�。�2）過程與方法：初步掌握歸納與推理的方法；培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)。
�。�3）情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生對于數(shù)學內(nèi)在美的感悟能力。
2.教學重點/難點
【教學重點】：
借助具體實例了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運用和恒等變換的運用)，運用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題。
【教學難點】：
如何理解數(shù)學歸納法證題的有效性；遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)。
3.教學用具多媒體
4.標簽
2.3 數(shù)學歸納法(1)
教學過程
課堂小結(jié)
適用：與正整數(shù)有關(guān)的命題 重點：兩個步驟、一個結(jié)論； 注意：遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫明莫忘掉
篇三：數(shù)學歸納法(第一課時)教學設(shè)計
一、教學目標：
（一）知識目標：
了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題．
（二）情感目標：
進一步培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W思維品質(zhì)，讓學生初步認識有限與無限的辯證關(guān)系，感悟數(shù)學的理性精神，欣賞數(shù)學的美與理．
�。ㄈ┠芰δ繕耍�
培養(yǎng)“大膽猜想，小心求證”的科學思維品質(zhì)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的數(shù)學意識，培養(yǎng)數(shù)學學習中的合作交流的能力，使學生初步掌握由歸納到猜想再到證明的數(shù)學思想方法．
二、教學重點
掌握數(shù)學歸納法證明題目的步驟，掌握數(shù)學歸納法的一些應(yīng)用．
三、教學難點
應(yīng)用數(shù)學歸納法第二個步驟中從k 到k+1的變化情況分析．
四、教學過程
�。ㄒ唬┮胝n題
將課前準備好的多米諾骨牌擺好并進行演示，觀察其中出現(xiàn)的“多米諾現(xiàn)象”：推倒頭一塊骨牌，它會帶倒第二塊，再帶倒第三塊，??，直到所有骨牌全部倒下．
假設(shè)多米諾骨牌有無窮多塊，在擺多米諾骨牌時，怎樣才能保證所有的骨牌一塊接一塊地倒下？
學生：首先必須推倒第一塊，接著是假如前面一塊倒下，要保證它倒下時會撞倒下一塊．這兩個條件滿足了，全部的骨牌都將倒下．
教師：生活中還有許多現(xiàn)象與“多米諾現(xiàn)象”類似，也都可以提出同樣的問題并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮時怎樣才能保證所有的鞭炮逐個地全部燃爆？在一列隊伍中傳達口令，怎樣才能保證口令能從第一個士兵開始逐個傳遍整個隊伍？
（二）傳授新知：
教師：現(xiàn)在我們把骨牌想象為一系列無窮多個編了號的命題：P1,P2,P3,?,假定我們能夠證明最初的一個命題P1正確（奠基）；由每一個命題Pk的正確性都可以推出它的下一個命題Pk?1的正確性（過渡）．那么我們便證明了這一系列命題的正確性．請將這個過程與多米諾現(xiàn)象進行類比．
在數(shù)學中這種證明問題的方法稱為數(shù)學歸納法．在數(shù)學中采用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時，有以下兩個步驟：
第一步，證明n?1時命題成立；
第二步，證明：如果n?k時命題成立，那么n?k?1時命題也成立．
根據(jù)以上兩步可以斷定，命題對任何正整數(shù)n都成立．
�。保脭�(shù)學歸納法證明：如果{an}是一個等差數(shù)列，那么an?a1?(n?1)d對
一切n?N?都成立．
【證明】（1）當n?1時，左邊＝a1，右邊＝a1?0?d?a1，等式成立；
�。�2）假設(shè)當n?k時，等式成立，即ak?a1?(k?1)d，
那么ak?1?ak?d?[a1?(k?1)d]?d?a1?[(k?1)?1]d．
這表明，當n?k?1時，等式也成立．
根據(jù)（1）、（2）可以斷定，等式對任何正整數(shù)都成立．
n?1時等式成立；n?1?1?2教師：在例1解題過程中，根據(jù)（1），再根據(jù)（2），
?1?3時等式也成立．這時等式也成立．由于n?2時等成立．再根據(jù)（2），n?2
樣遞推下去，就知道n?4,5,6,?時等式都成立，即等式對任何n?N?都成立．請
歸納出以上的證明步驟．
學生：用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟是：
（1）證明當n取第一個值n0（例如n0?1或2等）時結(jié)論正確；
�。�2）假設(shè)當n?k（k?N?,且k?n0)時結(jié)論正確，證明當n?k?1時結(jié)論也正確．
在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確．
正確使用數(shù)學歸納法證明一個數(shù)學問題，關(guān)鍵是在第二個步驟，只有應(yīng)用了假設(shè)條件去推理，證明過程才是有效的，沒有應(yīng)用假設(shè)條件的證明過程并不是在使用數(shù)學歸納法．
教師：數(shù)學歸納法的思想可以遠推至歐幾里得﹝前330-前275﹞．嚴格的數(shù)學歸納法是在16世紀后期才引入的．1575年意大利數(shù)學家、物理學家莫洛克斯﹝1494-1575﹞在他的《算術(shù)》一書中明確提出了這一方法，并且用它證明了“1?3?5???(2n?1)?n2”等；法國著名數(shù)學家帕斯卡﹝1623-1662﹞承認莫洛克斯引用了這方法，并在他的著作《三角陣算術(shù)》中運用了這一方法．因此，一般認為帕斯卡是數(shù)學歸納法的主要發(fā)明人．由于帕斯卡還沒有表示任意自然數(shù)的符號，因此組合公式及證明只能用敘述的方法，1686年J?伯努利首先采用了表示任意自然數(shù)的符號，在他的名著《猜度術(shù)》﹝1713﹞中包含運用數(shù)學歸納法證題的出色例子．“數(shù)學歸納法”這個名稱及數(shù)學歸納法的證題形式是德?摩根﹝1806-1871﹞所提出的．皮亞諾﹝1858-1932﹞的自然數(shù)公理中包含了歸納原理．
（三）講解例題：
�。�.用數(shù)學歸納法證明：1?2?3???n?1
2n(n?1)．
【證明】（1）當n?1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；
（2）假設(shè)當n?k時，等式成立，即1?2?3???k?
那么1?2?3???k?(k?1)?
?1
2(k?1)(k?2)?112k(k?1)?(k?1) 12k(k?1)， 2
這表明，當n?k?1時，等式也成立． (k?1)[(k?1)?1]．
根據(jù)（1）、（2）可以斷定，等式對任何正整數(shù)都成立．
２．求證對于任何非負整數(shù)n，都有2n?n?1．
【證明】（1） 當n?0時，20?1?0?1，不等式成立．
�。�2）設(shè)當n?k時，2k?k?1．
則n?k?1時，2k?1?2?2k?2(k?1)?(k?1)?1．
n綜上所述，對于任何非負整數(shù)n，都有2?n?1． ３．證明，其中n∈N*．
【評析】用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵是第二步，要注意當n=k+1時，等式兩邊的式子與n=k時等式兩邊的式子的聯(lián)系，或增加了哪些項，或減少了哪些項，問題就容易解決．
【證明】（1）當n=1時，左邊=1+1=2，右邊?21?1?2，等式成立．
�。�2）假設(shè)當n=k時，等式成立，
即
當n=k+1時， ．則
即當n=k+1時，等式也成立．
由（1）、（2）可知，對一切n∈N*，等式成立．
教師：數(shù)學歸納法只能在有了問題結(jié)論時才能使用，獲取問題的結(jié)論需借助合情推理，所以，“觀察—分析—歸納—猜想—證明”才是從發(fā)現(xiàn)問題至解決問題的完整過程．如果問題與自然數(shù)有關(guān)，一般可運用數(shù)學歸納法去證明．
教師：根據(jù)數(shù)學歸納法的定義，利用數(shù)學歸納法證題時，上述兩步驟缺一不可．如果只有第一步?jīng)]有第二步的證明，則它是屬于不完全歸納法，作出的結(jié)論就不一定真實可靠，而有了第二步的證明，在數(shù)學歸納原理的保證下，才使得結(jié)論是完全可靠的．但要注意，僅有第二步而無第一步的證明，結(jié)論也是不一定真實的．同時要注意，數(shù)學歸納法有別于上面提到的完全歸納法和不完全歸納法，它是根據(jù)歸納原理綜合運用歸納、演繹推理的一種特殊的數(shù)學證明方法．
利用數(shù)學歸納法來證明某些與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學命題，核心問題是用“n?k時命題成立”的假設(shè)條件證明“n?k?1時命題成立”，證明時要通過比較找出二者之間的差異，才能實現(xiàn)中間的過渡．數(shù)學歸納法證較多地使用在關(guān)于恒等式、不等式、數(shù)列、幾何以及整除類等問題中．
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