高一數(shù)學(xué)《集合與集合的表示方法》教學(xué)設(shè)計
1 集合的概念和表示方法
教材分析
集合概念的基本理論，稱為集合論.它是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要基礎(chǔ).一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計、拓?fù)涞�，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上.另一方面，集合論及其反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過集合，對于諸如數(shù)集(整數(shù)的集合、有理數(shù)的集合)、點集(直線、圓)等，有了一定的感性認(rèn)識.這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和延伸.首先通過實例引出集合與集合元素的概念，然后通過實例加深對集合與集合元素的理解，最后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子.本節(jié)的重點是集合的基本概念與表示方法，難點是運用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合.
教學(xué)目標(biāo)
1. 初步理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道常用數(shù)集及其記法.
2. 初步了解“屬于”關(guān)系的意義，理解集合中元素的性質(zhì).
3. 掌握集合的表示法，通過把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言(集合語言)，培養(yǎng)學(xué)生的理解、化歸、表達(dá)和處理問題的能力.
任務(wù)分析
這節(jié)內(nèi)容學(xué)生已在小學(xué)、初中有了一定的了解，這里主要根據(jù)實例引出概念.介紹集合的概念采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學(xué)生容易接受.在引出概念時，從實例入手，由具體到抽象，由淺入深，便于學(xué)生理解，緊接著再通過實例理解概念.集合的表示方法也是通過實例加以說明，化難為易，便于學(xué)生掌握.
教學(xué)設(shè)計
一、問題情境
1. 在初中，我們學(xué)過哪些集合?
2. 在初中，我們用集合描述過什么?
學(xué)生討論得出：
在初中代數(shù)里學(xué)習(xí)數(shù)的分類時，學(xué)過“正數(shù)的集合”，“負(fù)數(shù)的集合”;在學(xué)習(xí)一元一次不等式時，說它的所有解為不等式的解集.
在初中幾何里學(xué)習(xí)圓時，說圓是到定點的距離等于定長的點的集合.幾何圖形都可以看成點的集合.
3. “集合”一詞與我們?nèi)粘Ｉ钪械哪男┰~語的意義相近?
學(xué)生討論得出：
“全體”、“一類”、“一群”、“所有”、“整體”，……
4. 請寫出“小于10”的所有自然數(shù).
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.這些可以構(gòu)成一個集合.
5. 什么是集合?
二、建立模型
1. 集合的概念(先具體舉例，然后進(jìn)行描述性定義)
(1)某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集.
(2)集合中的每個對象叫作這個集合的元素.
(3)集合中的元素與集合的關(guān)系：
a是集合A中的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A;
a不是集合A中的元素，稱a不屬于集合A，記作aA.
例：設(shè)B={1，2，3｝，則1∈B，4
2. 集合中的元素具備的性質(zhì) B.
(1)確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是否屬于這個集合的元素也就確定了.如上例，給出集合B，4不是集合的元素是可以確定的.
(2)互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復(fù)的.
例：若集合A={a，b｝，則a與b是不同的兩個元素.
(3)無序性：集合中的元素?zé)o順序.
例：集合{1，2｝與集合{2，1｝表示同一集合.
3. 常用的數(shù)集及其記法
全體非負(fù)整數(shù)的集合簡稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N.
非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集合簡稱正整數(shù)集，記作N*或N+;
全體整數(shù)的集合簡稱整數(shù)集，記作Z;
全體有理數(shù)的集合簡稱有理數(shù)集，記作Q;
全體實數(shù)的集合簡稱實數(shù)集，記作R.
4. 集合的表示方法
[問 題]
如何表示方程x2-3x+2=0的所有解?
(1)列舉法
列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法.
例：x2-3x+2=0的解集可表示為{1，2｝.
(2)描述法
描述法是用確定的`條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.
例：①x2-3x+2=0的解集可表示為{x|x2-3x+2=0｝.
�、诓坏仁絰-3>2的解集可表示為{x|x-3>2｝.
�、踁enn圖法
例：x2-3x+2=0的解集可以表示為(1，2).
5. 集合的分類
(1)有限集：含有有限個元素的集合.例如，A={1，2｝.
(2)無限集：含有無限個元素的集合.例如，N.
(3)空集：不含任何元素的集合，記作.例如，{x|x2+1=0，x∈R｝=.
注：對于無限集，不宜采用列舉法.
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1. 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?
(1)由1，2，3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復(fù))所組成的一切自然數(shù).
(2)平面內(nèi)到一個定點O的距離等于定長l(l>0)的所有點P.
(3)在平面a內(nèi)，線段AB的垂直平分線.
(4)不等式2x-8<2的解集.
2. 用不同的方法表示下列集合.
(1){2，4，6，8｝.
(2){x|x2+x-1=0｝.
(3){x∈N|3
3. 已知A={x∈N|66-x∈N｝.試用列舉法表示集合A.
(A={0，3，5｝)
4. 用描述法表示在平面直角坐標(biāo)中第一象限內(nèi)的點的坐標(biāo)的集合.
[練 習(xí)]
1. 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?
(1)構(gòu)成英語單詞mathematics(數(shù)字)的全體字母.
(2)在自然集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合.
(3)矩形構(gòu)成的集合.
2. 用描述法表示下列集合.
(1){3，9，27，81，…｝.
(2)
四、拓展延伸
把下列集合“翻譯”成數(shù)學(xué)文字語言來敘述.
(1){(x，y)|y=x2+1，x∈R｝.
(2){y|y=x2+1，x∈R｝.
(3){(x，y)|y=x2+1，x∈R｝.
(4){x|y=x2+1，y∈N*｝.
點 評
這篇案例注重新、舊知識的聯(lián)系與過渡，以舊引新，從學(xué)生的原有知識、經(jīng)驗出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情境;從實例引出集合的概念，再結(jié)合實例讓學(xué)生進(jìn)一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法.非常注重實例的使用是這篇案例的突出特點.這樣做，通俗易懂，使學(xué)生便于學(xué)習(xí)和掌握.例題、練習(xí)由淺入深，對培養(yǎng)學(xué)生的理解能力、表達(dá)能力、思維能力大有裨益.拓展延伸注重數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化和訓(xùn)練，注重區(qū)分形似而質(zhì)異的數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)識.
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