直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)
導(dǎo)語(yǔ)：
《直線與圓的位置關(guān)系》是圓與方程這一章的重要內(nèi)容，它是學(xué)生在初中平面幾何中已學(xué)過(guò)直線與圓的三種位置關(guān)系，以及在前面幾節(jié)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程的基礎(chǔ)上，從代數(shù)角度，運(yùn)用坐標(biāo)法進(jìn)一步研究直線與圓的位置關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，初步形成代數(shù)法解決幾何問(wèn)題的能力，并逐漸內(nèi)化為學(xué)生的習(xí)慣和基本素質(zhì)，為以后學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的知識(shí)打下基礎(chǔ)。
一、課程分析：
(1)教材的地位和作用：
在近十年的高考中，對(duì)選擇題題型考查本章的基本概念和性質(zhì)，此類(lèi)題難度不大，但每年必考。以解答題考查直線與圓的位置關(guān)系，可能性不大。所以考試這類(lèi)題難度為中檔題。但是圓這一章性質(zhì)比較多，特別是直線與圓這一知識(shí)非常重要，對(duì)后面學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線起著拋磚引玉的作用，要重點(diǎn)研究。解決直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，要熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，既要充分運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合代定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的基本度量關(guān)系，養(yǎng)成勤畫(huà)圖的良好習(xí)慣。
(2)重點(diǎn)：1能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
2掌握兩種方法解決幾何問(wèn)題：代數(shù)方法和幾何方法
難點(diǎn)：1.根據(jù)不同的幾何條件，求圓的方程
2解決有關(guān)圓與直線的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題
3了解解析幾何中多種數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用
二、 學(xué)情分析
學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的知識(shí)，還有圓錐曲線的知識(shí)。能夠解決一些基本題型，掌握了解析幾何的一些常用的數(shù)學(xué)思想方法。但是因?yàn)殚g隔時(shí)間比較長(zhǎng)，所以有些知識(shí)有些淡忘，特別對(duì)某些題型該注意的問(wèn)題比較模糊。另外對(duì)知識(shí)的掌握上還是不夠熟練，規(guī)律方法的總結(jié)上缺乏系統(tǒng)性。所以這節(jié)課主要是通過(guò)典型題目起到復(fù)習(xí)基本知識(shí)總結(jié)規(guī)律的作用，其實(shí)解析幾何中圓與圓錐曲線的解題方法有很多共性，在后面設(shè)置一個(gè)難度稍大，比較綜合的題目，起到深化知識(shí)，統(tǒng)一方法的作用。
三、設(shè)計(jì)理念：
課堂教學(xué)的中心是學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，教學(xué)的根本任務(wù)是教學(xué)生學(xué)。本設(shè)計(jì)努力挖掘內(nèi)容的本質(zhì)和聯(lián)系，充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和思維發(fā)展方向，力求教學(xué)過(guò)程的自然流暢。在教學(xué)方法上，以"問(wèn)題引導(dǎo)，探究交流"為主，兼容講解、演示、合作等多種方式，力求靈活運(yùn)用。在教學(xué)目標(biāo)上，因?yàn)檫@是第一輪復(fù)習(xí)，所以注重基礎(chǔ)和方法規(guī)律的總結(jié)。以突出解析思想為主，容知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感與體驗(yàn)為一體，力求多元價(jià)值取向。
四、 教學(xué)目標(biāo)：
知識(shí)目標(biāo)：①鞏固高一高二的成果，并在此基礎(chǔ)上有所提高，對(duì)知識(shí)方法的掌握達(dá)到熟練程度。
�、谑炀氄莆�?qǐng)A的切線的求法，圓系方程的`應(yīng)用
�、凼炀氝\(yùn)用直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題。
能力目標(biāo)：① 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類(lèi)比轉(zhuǎn)化、一題多解的能力;
② 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、總結(jié)歸納的能力。
情感態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)：
�、� 通過(guò)師生的合作與交流，體現(xiàn)教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)模式。
�、� 通過(guò)直線與圓位置關(guān)系相關(guān)知識(shí)的深入研究，提高學(xué)生的解析幾何的分析能力，培養(yǎng)學(xué)生探究精神和創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)美的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的熱情。
五、 課前準(zhǔn)備(復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)：(小卷))
1.傾斜角的范圍：________
2. 斜率K=_____,限制條件：________
3.直線方程的五種形式：①點(diǎn)斜式：_____②斜截式：___③兩點(diǎn)式：___④截距式：____⑤一般式：____
4.兩直線的位置關(guān)系：(1)兩直線平行
對(duì)于直線L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2, L1 ∥L2_______
(2)兩直線垂直
對(duì)于直線L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2, L1 ⊥L2_______
對(duì)于直線L1:A1x+B1y+C1=0,L2 :A2x+B2y+C2=0, L1 ⊥L2_______
5.點(diǎn)到直線的距離：
平面上一點(diǎn)P(x0,y0)到一條直線L: Ax+By+C=0的距離
d=____________________
6.圓的方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
設(shè)圓心為(a,b)，半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)______，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程為_(kāi)________.
(2)圓的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F =0當(dāng)_______時(shí)表示圓，這叫圓的一般方程，其中圓心坐標(biāo)為_(kāi)_____，半徑為_(kāi)_______
(3)圓的直徑式方程
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是圓的直徑的兩端點(diǎn)，則其直徑方程為_(kāi)________
7.直線與圓的位置關(guān)系：_______、________、________
六、問(wèn)題引入
師：投影課前小卷，附答案
[實(shí)錄](méi)：學(xué)生對(duì)照答案自己改正
[點(diǎn)評(píng)]：復(fù)習(xí)一輪的基礎(chǔ)知識(shí)，并為這節(jié)課進(jìn)一步深化研究直線與圓作好知識(shí)準(zhǔn)備工作。
師：怎樣判別第7題的三種位置關(guān)系?
[點(diǎn)評(píng)]：?jiǎn)栴}提出，導(dǎo)入新課，讓學(xué)生明確這節(jié)課的目的和內(nèi)容。
生：用圓心到直線的距離d與半徑r大小進(jìn)行比較：
d>r相離，d=r相切，d師：很好，這用的是幾何法，有沒(méi)有別的方法要補(bǔ)充?
生：還可以把圓的二次方程與直線的一次方程聯(lián)立，看△
△ <0相離,△=0相切,△>相交.
師：不錯(cuò)，這是代數(shù)法。直線和圓的位置關(guān)系非常重要，它的重要性?xún)H次于圓錐曲線，并且是我們以后復(fù)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ)。這節(jié)課我們重點(diǎn)對(duì)直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行研究。
七、 性質(zhì)的運(yùn)用
1、切線的應(yīng)用
例1.(投影儀)
1) 設(shè)直線L過(guò)點(diǎn)A(-2,0)與圓x2+y2=1相切，則L的斜率是___________若L與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則K的范圍是__________________
師：(停頓2分鐘)做出來(lái)請(qǐng)舉手!并且給同學(xué)講解一下
([點(diǎn)評(píng)]：鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)思考，自己來(lái)獨(dú)立解決，從而提高學(xué)生的能力。)
([實(shí)錄](méi)：一學(xué)生積極發(fā)言，投影自己的答案，并且進(jìn)行講解，不詳?shù)牡胤酵ㄟ^(guò)老師點(diǎn)撥或者其他同學(xué)補(bǔ)充)
師：很好，他用的是勾股定理，這是數(shù)形結(jié)合的方法。充分利用了圓的切線的性質(zhì)，即連接圓心和切點(diǎn)得到垂直關(guān)系。
師：若將(-2，0)點(diǎn)換成(0，2)呢?
([點(diǎn)評(píng)]：通過(guò)設(shè)置變式，深入問(wèn)題，提高學(xué)生的變通能力)
([實(shí)錄](méi)：有第一題做鋪墊，學(xué)生很快作出答案，一生搶先發(fā)言，但是他第2個(gè)小題答案是(-,)，一部分同學(xué)有異議，說(shuō)應(yīng)該是(-，-)(，+)。大家開(kāi)始議論，有的同學(xué)臉上寫(xiě)滿(mǎn)困惑。)
師：K的范圍到底是什么，不能光靠猜想。大家想一想斜率的范圍應(yīng)該由誰(shuí)決定?
生齊答：傾斜角!
師：我們可以先來(lái)研究?jī)A斜角，通過(guò)tan圖象來(lái)直觀觀察K的范圍。
([實(shí)錄](méi)：學(xué)生頓悟，有的忙著畫(huà)圖象，有的小聲議論，很快有生起來(lái)解析，并切中要害：第一個(gè)題傾斜角的范圍里沒(méi)有，而第二個(gè)題有。)
師：這個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)的非常準(zhǔn)，是一個(gè)特殊位置，根據(jù)角的范圍求K，一定要結(jié)合tan圖象，看清楚K的范圍到底是那些部分。
(點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題目學(xué)生有明顯的共同的錯(cuò)誤就是容易弄錯(cuò)K的范圍。針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的困惑，老師適時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，而不是直接把正確做法灌輸給學(xué)生，讓學(xué)生自己動(dòng)手挖掘答案，具體解題讓學(xué)生自己完成，正確與錯(cuò)誤方法的對(duì)照，讓學(xué)生清晰的認(rèn)識(shí)到自己在審題、解答過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題)
2) 求的最小值
([點(diǎn)評(píng)]：改變問(wèn)題形式，仍然是切線問(wèn)題。通過(guò)這題復(fù)習(xí)了求切線的兩種方法，設(shè)切線方程的點(diǎn)斜式，一種是代數(shù)方法：聯(lián)立圓的方程，用△=0求K;一種是幾何法，用圓心到直線的距離等于半徑求K。)
師：能不能求過(guò)(,)點(diǎn)的切線方程?如果改成求過(guò)點(diǎn)P(1，2)的切線方程呢?
([點(diǎn)評(píng)]：求過(guò)一點(diǎn)的圓的切線方程，是圓這一章中很重要的題型。有兩點(diǎn)要注意①是看清點(diǎn)是在圓上還是在圓外②是點(diǎn)如果在圓外,切線有兩條,有時(shí)求一個(gè)K,容易只得到一條切線方程,漏掉另一條斜率不存在的切線方程。通過(guò)這道題設(shè)置問(wèn)題陷阱,給容易出錯(cuò)的學(xué)生起到警醒的作用)
([實(shí)錄](méi):這類(lèi)題目學(xué)生很容易完成,但依然不少出錯(cuò),老師讓出錯(cuò)的同學(xué)說(shuō)出答案,別的同學(xué)立即給予指正.這個(gè)同學(xué)臉上十分慚愧,從反面加深印象,起到了示范和警醒的效果)
2、圓系方程的應(yīng)用
例2.圓心為(2,1),且與已知圓x2+y2-3x=0的公共弦所在的直線過(guò)點(diǎn)(5,-2),求圓的方程.
師:有沒(méi)有同學(xué)起來(lái)分析一下這道題,特別是不太會(huì)做的同學(xué),可以起來(lái)說(shuō)說(shuō)你在哪個(gè)地方思維受阻?讓別的同學(xué)幫忙解決一下。
([點(diǎn)評(píng)]:改變以往的授課方式,老師退出"主角"的位置,把探究問(wèn)題,分析問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)讓給學(xué)生,鼓勵(lì)學(xué)生展示自己的思維過(guò)程,這樣避免了老師和學(xué)生的思維脫節(jié),更貼近學(xué)生的實(shí)際,如果出現(xiàn)錯(cuò)誤的思維過(guò)程正好暴漏學(xué)生知識(shí)的弱點(diǎn))
生1:要求圓的方程應(yīng)該先設(shè)圓的方程, 我知道這題與圓心有關(guān)應(yīng)選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.但往下不知道怎么研究?jī)蓤A的公共弦所在的直線.
生2:我想到一輪復(fù)習(xí)中學(xué)過(guò)的圓系方程,圓1減圓2等于直線方程,就是兩圓公共弦所在的直線方程,然后代入點(diǎn)求K
([實(shí)錄](méi)：師生共同活動(dòng)完成這題的小結(jié):①待定系數(shù)法求圓的方程,先根據(jù)已知條件選擇方程形式:如果與圓心半徑有關(guān),用標(biāo)準(zhǔn)方程;如果告訴圓上兩點(diǎn)或三點(diǎn),用一般方程②圓系方程：(圓1)+(圓2)=0 。-1表示經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的所有圓的方程;=0;表示圓1;=-1表示兩圓公共弦所在的直線方程(前提兩圓的x2.y2兩項(xiàng)系數(shù)要統(tǒng)一))
八、深入探究
例3.已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線L:mx-y+1-m=0
(1) 求證mR:對(duì)直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A.B
(2) 求A.B中點(diǎn)的軌跡方程
(3) 是否存在mR,使以A.B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),若存在,求m的值,若不存在,說(shuō)明理由.
([點(diǎn)評(píng)]:這三道題主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力,應(yīng)該給學(xué)生一定的做題時(shí)間.另外前兩個(gè)小題的方法比較多,老師應(yīng)注意收集學(xué)生不同的解法, 并且加以比較,找出最佳解法,以便統(tǒng)一)
([實(shí)錄](méi):學(xué)生各抒己見(jiàn),課堂氣氛出現(xiàn)高潮:題(1)主要收集到三種方法,老師把它們進(jìn)行投影:①聯(lián)立方程用△>0來(lái)判斷②用圓心到直線的距離d師:這三種解法都很不錯(cuò),說(shuō)明同學(xué)們都能積極思考問(wèn)題.特別注意第三種方法的技巧:當(dāng)直線方程含有參數(shù)m時(shí),我們經(jīng)常把它寫(xiě)成m( )+( )=0形式,讓兩個(gè)括號(hào)都為0求定點(diǎn)。
([實(shí)錄](méi):(2)學(xué)生主要有兩種方法: ①利用CM⊥AB,所以KCM.K AB=-1②聯(lián)立圓與直線的方程,用韋達(dá)定理求再消去m。師邊投影邊點(diǎn)評(píng)：法1其實(shí)可以用向量數(shù)量積為0來(lái)做，這樣可以避免K存不存在的問(wèn)題。法2 用的是參數(shù)法，它的缺陷是運(yùn)算比較大，有時(shí)候參數(shù)不容易消去。)
師：有沒(méi)有別的方法了?
師提示：看到垂直除了斜率乘積等于-1或者向量數(shù)量積等于0，還能想到什么?
生：圓!
師：很好，能不能用圓的方程來(lái)做這題?
([實(shí)錄](méi)：學(xué)生先獨(dú)立思考一分鐘，然后同桌之間相互討論。很快得出答案：M的軌跡是以CP為直徑的圓，從而得到圓的方程。師總結(jié)：法1比較好，法2運(yùn)算量大，法3數(shù)形結(jié)合最簡(jiǎn)單)
(3)師提示：這是什么題型，存不存在問(wèn)題。我們應(yīng)先設(shè)存在。
怎樣構(gòu)造m的方程?式子中點(diǎn)的坐標(biāo)用什么來(lái)處理?請(qǐng)同學(xué)們拿出練習(xí)本，把步驟寫(xiě)一寫(xiě)。
([點(diǎn)評(píng)]：本題思路簡(jiǎn)單但運(yùn)算量很大，并且這個(gè)解題過(guò)程和后面的直線與圓錐曲線的解題過(guò)程異曲同工。所以要求步驟要規(guī)范統(tǒng)一。本題采用方式為引導(dǎo)思路，并且給出詳細(xì)的解答過(guò)程。兩個(gè)目的：本類(lèi)型題目是高考的必考題，對(duì)分步得分要求嚴(yán)格，所以要規(guī)范步驟;另外幫助學(xué)生規(guī)范思路，解答問(wèn)題的過(guò)程。需用時(shí)10分鐘)
([實(shí)錄](méi)：學(xué)生思路明確，不準(zhǔn)討論，都動(dòng)筆演算。約10分鐘后，老師投影學(xué)生正確答案。點(diǎn)評(píng)學(xué)生的答案，表?yè)P(yáng)學(xué)生書(shū)寫(xiě)規(guī)范與解題嚴(yán)謹(jǐn)，給其他學(xué)生一個(gè)規(guī)范的作答。)
九、歸納總結(jié)：
引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的收獲
(學(xué)生口述，師補(bǔ)充，共同完成)
(一) 本節(jié)課的主要內(nèi)容：圓的切線方程的求法;圓系方程的應(yīng)用;直線與圓相交問(wèn)題。
(二) 本節(jié)課的主要數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合的方法;待定參數(shù)法;討論K存不存在;設(shè)而不求等等。
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